En la entrada anterior calculamos todos los divisores de 18 y 27:
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
Divisores de 27: 1, 3, 9 y 27.
Fíjate que 18 y 27 tienen varios divisores en común: 1, 3 y 9. El mayor de los divisores en común, 9, nos será útil. Lo llamamos máximo común divisor de 18 y 27 y lo escribimos así:
M.C.D. (18, 27) = 9
Vamos a hacer otro ejemplo. Ahora calculamos el máximo común divisor de 8 y 16. Para ello calculamos todos los divisores de 8 y de 16:
Divisores de 8: 1, 2, 4 y 8.
Divisores de 16: 1, 2, 4, 8 y 16.
Los divisores en común son 1, 2, 4 y 8, y el mayor es 8. Por tanto, el máximo común divisor de 8 y 16 es 8. Se escribe así:
M.C.D. (8, 16) = 8
Fíjate que en este caso ha sido muy fácil, ya que 8 es divisor de 16 y 8 es el mayor divisor de él mismo.
En esta bonita página tienes otra explicación sobre el máximo común divisor. Reflexiona y practica.
Tarea obligatoria: Calcula el máximo común divisor de las siguientes parejas de números:
2 y 3
2 y 6
4 y 6
4 y 12
10 y 15
12 y 18
16 y 20
19 y 21
22 y 28
24 y 30
Tarea opcional: Busca otra página donde practicar el máximo común divisor y escríbela en un comentario de esta entrada. Indica si te gusta más o menos que las que yo te he indicado y por qué.
Otro problema de la semana más. En esta ocasión el tema es propicio para estas fechas. ¡Y os aseguro que es más fácil!
El quinto problema de la semana es el siguiente:
En un árbol de Navidad hay luces rojas, azules y amarillas. Las primeras se encienden cada 20 segundos, las segundas cada 25 y las terceras cada 30. Si ahora mismo están todas encendidas, ¿al cabo de cuántos segundos volverán a coincidir las tres clases de luces encendidas? En una hora, ¿cuántas veces se encienden a la vez?
Seguimos con la divisibilidad. En esta ocasión vamos a calcular los divisores de un número. Por ejemplo, los divisores de 18. Recuerda que un divisor de 18 es un número que al dividir 18 entre este número la división es exacta. Por tanto, tenemos una primera regla: los divisores de un número son menores o iguales que dicho número. Luego los divisores de un número no son infinitos, como ocurría con los múltiplos, y podemos calcularlos todos. El cálculo de todos los divisores de 18 consiste en ir dividiendo 18 por los números menores que él y, según la división sea exacta o no, ir decidiendo cuáles son divisores de 18 y cuáles no. Pero hay una serie de reglas que nos van a permitir no tener que hacer todas las divisiones:
Ningún divisor de 18 es mayor que 18.
Todo número distinto de 1 tiene al menos dos divisores, el uno y él mismo. Luego ya tenemos los dos primeros divisores de 18: 1 y 18.
Si encontramos una división exacta con 18 como dividendo, como 18:2=9, tanto el divisor como el cociente son divisores de 18, ya que 18:9=2 también es exacta.
Los criterios de divisibilidad nos van a ayudar a no tener que hacer divisiones que vamos a ver rápidamente que no son exactas. Por ejemplo, 5 no es divisor de 18, ya que 18 no acaba en 0 ni en 5.
Vamos haciendo las divisiones de 18 por 1, 2, 3..., apuntando, cuando la división sea exacta, tanto el divisor como el cociente. Podemos parar cuando lleguemos a un número que ya sabemos que es un divisor de 18 o cuando el cociente de la división sea menor que el divisor.
En el ejemplo del 18 el proceso es el siguiente. Primeros divisores, 1 y 18. Siguientes, 2 y 9. A continuación, como 18:3=6 es una división exacta, 3 y 6. El 4 no es divisor, ya que la división 18:4 no es exacta. El 5 sabemos que no es divisor de 18 y el 6 ya lo tenemos. Hemos terminado. Todos los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
Otro ejemplo: calculamos los divisores de 27. Primeros divisores, 1 y 27. El 2 sabemos que no es divisor por el criterio de divisibilidad por 2. Como 27:3=9 es exacta, 3 y 9 son divisores de 27. El 4 no es divisor, ya que la división 27:4 no es exacta. El 5 sabemos que no es divisor de 27 por el criterio de divisibilidad por 5. A continuación, 27:6= 4 y resto 3, luego 6 no es divisor de 27 y ya hemos terminado, ya que el cociente, 4, es menor que el divisor de esta división. Por tanto, todos los divisores de 27 son: 1, 3, 9 y 27.
En esta bonita página tienes también el proceso de búsqueda de todos los divisores de un número. Reflexiona y practica.
Esta es otra página genial para practicar el cálculo de divisores de un número. Pincha aquí y luego haz clic en "Divisores". Empieza por los números más pequeños.
Tarea obligatoria: calcula y escribe en tu cuaderno todos los divisores de los siguientes números: 10, 12, 13, 20, 25, 30, 31, 40, 42, 60, 100 y 120.
Tarea opcional: el siguiente vídeo (tiene sonido) tiene dos pequeños fallos. ¿Puedes encontrar alguno? Escríbelo en los comentarios de esta entrada.
Primera tarea opcional: Repasa lo que hemos visto sobre múltiplos en esta página. Copia en tu cuaderno las respuestas a los ejercicios que encontrarás en ella.
Segunda tarea opcional: Practica tu memoria visual en esta página. Una vez que entres en ella, busca en el menú de la izquierda en la parte de abajo el enlace "Memoria Visual". Entrénate para ganar la competición que haremos en clase. Cada vez que quieras volver a practicar el ejercicio, pulsa de nuevo en "Memoria Visual".
Otro problema para pensar un poco más. Hay una novedad: a partir de ahora pueden participar todos los alumnos de primero del instituto. Os recuerdo el funcionamiento: hay que escribir la respuesta en un comentario de esta entrada. Además, hay que explicar el proceso de resolución. Se puede elegir entre escribir el proceso en el mismo comentario, entregarlo por escrito a tu profesor o salir a la pizarra y explicarlo al resto de compañeros.
El cuarto problema de la semana es el siguiente:
¿Cuánto costaría jugar todas las apuestas diferentes que se pueden realizar en la quiniela (incluyendo el "pleno al 15") en una sola jornada?
Vamos a hacer el tercer examen, que será el último de la primera evaluación. En este examen habrá ejercicios que hemos visto en las siguientes entradas del blog:
MUY IMPORTANTE: En este tercer examen también habrá preguntas del primer examen y del segundo examen, por eso este es el examen que más cuenta.
Tarea obligatoria: Para preparar los contenidos vistos en el tema 3, realiza este ejemplo de examen. Haz los ejercicios en el cuaderno y enséñamelos. ¡No olvides poner fecha y título siempre en el cuaderno!
El examen será el próximo miércoles 15 de diciembre.
Tarea opcional: mándame un email contándome qué has aprendido en este tema, qué te ha gustado más y qué se te ocurre que podemos hacer para aprender todavía más.
¿Qué te parecería saber si un número es divisible por otro sin hacer la división, solo de un vistazo? Pues se puede hacer en ciertos casos. Hay unas reglas sencillas para saber si un número es múltiplo de algunos números. Estas reglas sencillas y alternativas a la división se llaman criterios de divisibilidad. Vamos a estudiar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9, 10 y 11.
Criterio de divisibilidad por 2: Un número es múltiplo de 2 (o divisible por 2) si su cifra de las unidades es cero o par. Ejemplos de múltiplos de 2: 8, 26, 190, 3452, 45998...
Criterio de divisibilidad por 3: Un número es múltiplo de 3 (o divisible por 3) si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplos de múltiplos de 3: 15 (1+5=6, que es múltiplo de 3), 231 (2+3+1=6, que es múltiplo de 3), 930 (9+3+0=12, que es múltiplo de 3), 1236 (1+2+3+6=12, que es múltiplo de 3)...
Criterio de divisibilidad por 5: Un número es múltiplo de 5 (o divisible por 5) si su cifra de las unidades es cero o cinco. Ejemplos de múltiplos de 5: 20, 395, 5070, 48315...
Criterio de divisibilidad por 9: Un número es múltiplo de 9 (o divisible por 9) si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplos de múltiplos de 9: 99 (9+9=18, que es múltiplo de 9), 126 (1+2+6=9, que es múltiplo de 9), 3015 (3+0+1+5=9, que es múltiplo de 9), 27234 (2+7+2+3+4=18, que es múltiplo de 9)...
Criterio de divisibilidad por 10: Un número es múltiplo de 10 (o divisible por 10) si su cifra de las unidades es cero. Ejemplos de múltiplos de 10: 80, 140, 3200, 78020...
Criterio de divisibilidad por 11: Un número es múltiplo de 11 (o divisible por 11) si al sumar sus cifras que ocupan posiciones impares y al sumar sus cifras que ocupan posiciones pares, la diferencia de estas sumas es cero o múltiplo de 11. Ejemplos de múltiplos de 11: 132 ((1+2)-(3)=0), 7183 ((7+8)-(1+3)=11, que es múltiplo de 11), 90618 ((9+6+8)-(0+1)=22, que es múltiplo de 11), 26180 ((6+8)-(2+1+0)=11, que es múltiplo de 11)...
Puedes practicar los criterios de divisibilidad en esta página.
Tareas obligatorias: ¿Había algún criterio de divisibilidad que no conocías? Cópialo en tu cuaderno. A continuación, rellena por parejas el documento de criterios de divisibilidad que te enviará el profesor. ¡Busca tu pareja y organízate con ella! En esta ocasión no están permitidos cambios de compañero.
Tarea opcional: Escribe en los comentarios de esta entrada otro criterio de divisibilidad por otro número diferente. ¿No conoces ninguno? ¡Búscalo!
Aquí tienes un vídeo donde se explican algunos criterios de divisibilidad (tiene sonido):
Fíjate que 6 y 15 tienen múltiplos en común: 30, 60, 90... El menor de los múltiplos en común, 30, nos será útil. Lo llamamos mínimo común múltiplo de 6 y 15 y lo escribimos así:
m.c.m. (6, 15) = 30
Vamos a hacer otro ejemplo. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo de 8 y 16. Para ello calculamos los primeros múltiplos de 8 y de 16:
Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48...
Múltiplos de 16: 16, 32, 48, 64, 80...
Los múltiplos en común son 16, 32, 48..., y el más pequeño es 16. Por tanto, el mínimo común múltiplo de 8 y 16 es 16. Se escribe así:
m.c.m. (8, 16) = 16
Fíjate que en este caso ha sido muy fácil, ya que 16 es múltiplo de 8 y 16 es el múltiplo más pequeño de él mismo.
Practica el cálculo del mínimo común múltiplo en esta página.
Tarea obligatoria: Calcula el mínimo común múltiplo de las siguientes parejas de números:
2 y 3
2 y 6
4 y 6
4 y 12
5 y 7
6 y 10
8 y 12
10 y 15
11 y 12
12 y 27
Primera tarea opcional: Practica el cálculo del mínimo común múltiplo en esta página. Hay seis escenas en total. Copia tus respuestas en tu cuaderno.
Segunda tarea opcional: Busca otra página donde practicar el mínimo común múltiplo y escríbela en un comentario de esta entrada. Indica si te gusta más o menos que las que yo te he indicado y por qué.
Seguimos con la divisibilidad. Recuerda que si una división es exacta, el dividendo es múltiplo del divisor. Por ejemplo, 20 es múltiplo de 4, ya que 20:4=5 es exacta. Además, la prueba de la división nos dice que 20=4 x 5. Esta es otra forma de calcular múltiplos de un número: multiplicamos dicho número por cualquier natural. De esta forma, los primeros múltiplos de 4 son: 4 x 1, 4 x 2, 4 x 3, 4 x 4, 4 x 5, 4 x 6, 4 x 7, 4 x 8, 4 x 9, 4 x 10, 4 x 11, 4 x 12..., es decir, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48... Observa que también podríamos haber calculado los múltiplos de 4 sumando 4 a cada término. O sea, si un número es múltiplo de 4, podemos calcular el siguiente múltiplo de 4 sumándole 4 a ese número. En esta página puedes practicar este concepto de múltiplo.
Fíjate que los múltiplos de un número no acaban nunca. Decimos que son infinitos. Por eso no se pueden calcular todos. El múltiplo más pequeño de un número es el propio número.
Vamos a calcular los 20 primeros múltiplos de 6 y 15:
Tarea obligatoria: escribe en en tu cuaderno los 20 primeros múltiplos de los siguientes números: 2, 5, 10, 12, 25 y 26.
Tarea opcional: entra en esta página y señala de cada número de la izquierda tres de sus múltiplos entre los números de su derecha. Hay tres escenas con cuatro números cada una. Copia tus respuestas en tu cuaderno.
Pasamos a otro apartado del bloque "Números" del currículo de 1º de la ESO que lleva por título divisibilidad. Como puedes adivinar, este tema tiene mucho que ver con la división. Tienes que tener claras las partes de la división, cuándo una división es exacta y la prueba de la división. Si tienes dudas, repasa estos conceptos.
Vamos a centrarnos en las divisiones exactas. Por ejemplo, 6:3=2 es una división exacta, ya que el resto es cero. Cuando la división entre dos números es exacta, decimos que ambos números tienen una relación de divisibilidad. En el ejemplo que hemos puesto, como 6:3 es exacta, entonces 6 y 3 tienen una relación de divisibilidad. Además, hay tres conceptos más que debes aprender: cuándo un número es divisible por otro, cuándo es múltiplo y cuándo es divisor. Las cuatro siguientes frases son equivalentes, es decir, si una es cierta también son ciertas todas las demás:
Dos números tienen una relación de divisibilidad. Por ejemplo, 6 y 3 tienen una relación de divisibilidad.
El mayor es divisible por el menor. Por ejemplo, 6 es divisible por 3.
El mayor es múltiplo del menor. Por ejemplo, 6 es múltiplo de 3.
El menor es divisor del mayor. Por ejemplo, 3 es divisor de 6.
De igual forma, si una división entre dos números no es exacta, todo lo anterior no se cumple. Por ejemplo, 10:4 no es exacta, ya que el resto no es cero. Entonces, 10 y 4 no tienen una relación de divisibilidad, ni 10 es divisible por 4, ni 10 es múltiplo de 4, ni 4 es divisor de 10.
Otro ejemplo, 50:10=5 es una división exacta. Por tanto, podemos afirmar:
50 y 10 tienen una relación de divisibilidad.
50 es divisible por 10.
50 es múltiplo de 10.
10 es divisor de 50.
Tarea obligatoria: inventa diez divisiones exactas y escribe en tu cuaderno, de cada una de ellas, las cuatro frases correspondientes con los conceptos relación de divisibilidad, divisible, múltiplo y divisor. En total debes tener 40 frases.
Las bacterias son seres vivos unicelulares que se reproducen dividiéndose por la mitad cada cierto tiempo. Suponemos una bacteria que se divide cada hora. Es decir, cuando pasa una hora ya hay dos bacterias; después de dos horas tendríamos cuatro bacterias, ya que cada una se divide en dos; a las tres horas, ocho bacterias, y así sucesivamente. ¿Cuántas bacterias habrá en un mes?
Segunda entrada sobre problemas matemáticos. En este caso vamos a ver problemas que se pueden resolver mediante el uso de las operaciones básicas con naturales. Para aprender a hacer problemas hay que intentar hacer los problemas. Parece una tontería, pero no lo es. Un truco: lo primero es tener los datos claros, así que ordénalos en una tabla.
Tarea obligatoria: resolver esta lista de 10 problemasen tu cuaderno. Copia los enunciados y resuelve los problemas indicando claramente el proceso de resolución. Si necesitas la lista impresa, pídemela.
Como primera tarea opcional, inventa otros dos problemas en los que haya que usar al menos dos operaciones distintas para resolverlos y escríbelos en un comentario de esta entrada. Escribe sólo el enunciado de cada problema, no su solución. Iré escribiendo los problemas correctos en la lista anterior.
Como segunda tarea opcional, resuelve en tu cuaderno dos problemas que hayan inventado tus compañeros. Copia en tu cuaderno los enunciados de los problemas de tus compañeros y resuélvelos.
Ya están las notas del tema 2 puestas. Si has hecho todas las tareas obligatorias y, además, varias de las tareas opcionales, tendrás una nota de clase alta. Si te faltan tareas obligatorias por hacer, no tendrás más de un 4 en la nota de clase. Todavía estás a tiempo de hacer las tareas que tengas pendientes, aunque se haya pasado la fecha límite. Así mejorarás tu nota de clase. ¡Más vale tarde que nunca! Además, tengo en cuenta si te portas bien y llegas pronto a clase.
Recibirás ejercicios obligatorios de recuperación en tu email. La fecha límite para realizarlos es el martes 23 de noviembre.
Cuando en una expresión aparecen varias operaciones mezcladas diremos que es una operación combinada. Para realizarla correctamente debemos tener claro el orden o jerarquía de las operaciones:
Las potencias y las raíces.
Las operaciones que hay entre paréntesis.
Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.
Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.
Con la práctica aprenderás atajos como aprovechar las propiedades de las potencias que ya conoces o realizar al mismo tiempo operaciones que son independientes dentro de la misma expresión.
Ejemplo:
Tareas obligatorias: copia en tu cuaderno la lista anterior con el orden que debes seguir en las operaciones. Practica operaciones combinadas en esta página y copia en tu cuaderno diez de las que hagas. A continuación, realiza en tu cuaderno las operaciones de esta hoja . Copia cada operación combinada y realízala paso a paso al igual que el ejemplo anterior. Cuando termines, rellena este formulario con tus respuestas.
Primera tarea opcional: Busca otra página donde practicar más operaciones combinadas y escríbela en un comentario de esta entrada. Indica si te gusta más o menos que la que has usado en la tarea obligatoria y el porqué.
Segunda tarea opcional: Realiza un cartel para colgar en clase con la lista de la jerarquía de las operaciones. Puedes hacerlo a mano o por ordenador. El cartel más bonito lo pondremos en clase. Aquí tienes dos vídeos que explican cómo crear un documento en Google Docs:
De nuevo, otro problema para pensar un poco más. El funcionamiento es el mismo que el anterior: el primero que lo resuelva que escriba la solución mediante un comentario a esta entrada. No olvides que hay que explicar el proceso de resolución.
El segundo problema es el siguiente:
Cuenta la leyenda que el inventor del ajedrez se lo enseñó al rey de la India. A éste le gustó tanto que le dijo: "Pídeme lo que quieras que te lo concedo". El inventor le dijo al rey: "Quiero un grano de trigo en la primera casilla del tablero, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta, etc". Al rey le pareció que había pedido poco e incluso se enfadó y le dijo: "Has despreciado mi generosidad, diré a mis criados que te den lo que has pedido en un saco". Pero cuando sus matemáticos hicieron el cálculo se quedaron horrorizados: "Majestad, ¿qué habéis hecho? No hay en todo el mundo cantidad suficiente para dar el trigo prometido." Ahora tú eres el matemático: ¿cuántos granos de trigo deberá dar el rey al inventor del ajedrez?
Tarea opcional: repasa lo que has visto sobre potencias y raíces con esta actividad de JClic. Cuando llegues a la ventana que te pregunta sobre las raíces por defecto, avísame.
Otra tarea opcional: practica cálculo mental en esta página. Entrénate para ganar la competición que haremos en clase. Usaremos una de las series de multiplicaciones.
MUY IMPORTANTE: En este segundo examen también habrá preguntas del primer examen.
Para preparar los contenidos vistos en el tema 2, tienes que hacer la siguiente tarea obligatoria: realiza este ejemplo de examen. Haz los ejercicios en el cuaderno y enséñamelos. ¡No olvides poner fecha y título siempre en el cuaderno!
El examen será el próximo jueves 18 de noviembre.
Tarea opcional: mándame un email contándome qué has aprendido en este tema, qué te ha gustado más y qué se te ocurre que podemos hacer para aprender todavía más.
Nueva sección: cada semana propondré un problema para pensar un poco más. El primero que lo resuelva que escriba la solución mediante un comentario a esta entrada. Además, debe ser capaz de explicar el proceso de resolución. Puede elegir entre escribir el proceso en el mismo comentario o salir a la pizarra y explicarlo al resto de compañeros. Resolver un problema de la semana tendrá más valor que el resto de tareas opcionales.
El primer problema es el siguiente:
Rebeca está muy feliz y quiere distribuir un mensaje de felicidad entre sus amigos. El mensaje es el siguiente: "No rompas la cadena de la FELICIDAD. Reenvía mañana este mensaje a cuatro amigos y la felicidad llegará a tu vida". Rebeca va a mandar este mensaje a cuatro amigos. Cada uno de ellos, al día siguiente, mandará el mismo mensaje a otros cuatro amigos distintos. Y así sucesivamente. Por tanto, el primer día Rebeca manda los primeros cuatro mensajes y el segundo día sus cuatro amigos mandan cada uno cuatro mensajes más. Si sigue la cadena, ¿cuántos mensajes se mandarán el séptimo día?
Primera entrada sobre problemas matemáticos. En este caso vamos a ver problemas que se puedan resolver mediante el uso de potencias y raíces cuadradas. En particular vamos a detenernos en dos tipos de problemas que tienen que ver con cuadrados.
Cálculo de la superficie de un cuadrado conociendo cuánto mide el lado.
Para calcular el área o superficie de un cuadrado basta con elevar al cuadrado el lado. Hay que prestar atención a las unidades de medida, ya que para el lado necesitamos una unidad de medida de longitud y para el área una unidad de medida de superficie.
Ejemplo:
Un cuadrado tiene 4 cm de lado. ¿Cuánto mide su área?
Para hallar el área elevamos 4 al cuadrado, que es 16. Por tanto, su área mide 16 centímetros cuadrados.
Cálculo del lado de un cuadrado conociendo cuánto mide su área.
Para calcular el lado de un cuadrado basta con hallar la raíz cuadrada de su área. De nuevo, hay que prestar atención a las unidades de medida.
Ejemplo:
Calcula el lado de un cuadrado de 25 metros cuadrados de superficie.
Para hallar el lado calculamos la raíz cuadrada de 25, que es 5. Por tanto, su lado mide 5 metros.
La tarea que tienes que realizar es resolver esta lista de 7 problemasen tu cuaderno. Copia los enunciados en tu cuaderno y resuelve los problemas indicando claramente la solución.
Como primera tarea opcional, inventa otro problema en el que haya que usar potencias o raíces para resolverlo y escríbelo en un comentario de esta entrada. Escribe sólo el enunciado del problema, no su solución. Iré escribiendo los problemas correctos en la lista anterior.
Como segunda tarea opcional, resuelve en tu cuaderno un problema que haya inventado un compañero. Copia en tu cuaderno el enunciado del problema de tu compañero y resuélvelo.
La operación inversa de "elevar al cuadrado" un número es hallar su raíz cuadrada. Pincha aquí y sigue los pasos que se indican para entender esta nueva operación.
Ejemplos de raíces cuadradas:
se lee "la raíz cuadrada de 9 es 3",
se lee "la raíz cuadrada de 49 es 7",
se lee "la raíz cuadrada de 144 es 12".
Se llama radicando al número que hay bajo el signo de la raíz. Sólo los cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada exacta. Los números naturales que no son cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada entera. Como tarea, escribe en tu cuadernocinco ejemplos más en los que calcules la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto. Indica en cada caso cómo se lee y quién es el radicando.
La siguiente tarea es completar el documento que ya hiciste sobre cuadrados perfectos. He añadido una nueva columna que debes completar: "Raíz cuadrada". Rellena los huecos siguiendo los ejemplos. Aquí tenéis los enlaces a vuestros documentos:
Hasta aquí las tareas obligatorias de raíces cuadradas.
Como primera tarea opcional, investiga las raíces cuadradas enteras. Un número natural que no es un cuadrado perfectono tiene una raíz cuadrada exacta. Sin embargo, sí podemos calcular su raíz entera por defecto y, además, indicamos el resto que nos sobra. Ejemplos:
se lee "la raíz cuadrada de 10 es 3 y el resto es 1",
se lee "la raíz cuadrada de 24 es 4 y el resto es 8",
se lee "la raíz cuadrada de 40 es 6 y el resto es 4".
La tarea consiste en calcular la raíz cuadrada entera y el resto de los siguientes números:
Como segunda tarea opcional, busca otra página donde se expliquen más propiedadessobre las raíces e indícala mediante un comentario a esta entrada. Debes indicar claramente la página y qué propiedad nueva puedes estudiar en ella. Como siempre, no puedes repetir una página que ya haya sido indicada por un compañero.
Vamos a estudiar ahora las potencias que tienen de exponente 2 y 3. Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados y las de exponente 3, cubos. Practica aquí y aquí por qué se llaman así.
El resultado de una potencia de exponente 2 es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, 9 es un cuadrado perfecto ya que es 3 al cuadrado.
El resultado de una potencia de exponente 3 es un cubo perfecto. Por ejemplo, 27 es un cubo perfecto ya que es 3 al cubo.
La tarea obligatoria que tienes que hacer es la siguiente. Completa el documento que te indicará el profesor con un compañero. Se trata de una lista de los primeros cuadrados perfectos y los primeros cubos perfectos. Debes aprenderte la lista de los primeros cuadrados perfectos hasta el 225.
La tarea obligatoria es completar el documento hasta 20^2 y 20^3. Como tarea opcional, completa el documento hasta 40^2 y 40^3.
Otra utilidad de las potencias de base 10: escribir un número natural como una suma de potencias de 10. Esta forma de escribir un número también se llama expresión polinómica del número. Veamos cómo se hace. Nuestro sistema de numeración decimal también es posicional. Esto quiere decir que cuando escribimos 4 523 realmente queremos decir:
Teniendo en cuenta que 4 000 = 4 x 1 000, 500 = 5 x 100 y 20 = 2 x 10, entonces:
Y sustituyendo por potencias de base 10:
Como tarea escribe en tu cuaderno la expresión de los siguientes números mediante suma de potencias de base 10:
Vamos a detenernos en las potencias que tienen base 10. Fíjate cómo calculamos las siguientes potencias:
¿Sabrías alguna regla para calcular rápidamente una potencia de 10? Escríbela en tu cuaderno junto con cuatro ejemplos de potencias de 10. Si no se te ha ocurrido, puedes descubrirla aquí. Aprovecha la página anterior para practicar la regla y para descubrir el uso de las potencias de 10 para escribir números grandes.
La siguiente tarea va a ser crear un documento entre todos. Pincha aquí para acceder a una hoja de cálculo que vas a tener que modificar. La tarea es la siguiente: piensa o busca (en internet, por ejemplo) un objeto cuyas dimensiones sean parecidas al valor de una potencia de base 10 en metros. Debes rellenar una fila del documento. En dicha fila debes completar las columnas: "Alumno", "La potencia se lee", "Valor", "El valor se lee" y "Ejemplo de medida de un objeto en METROS".
Hasta aquí las tareas obligatorias de potencias de base 10.
Como tarea opcional, cuando todos tus compañeros hayan rellenado su fila de la hoja de cálculo de potencias, puedes rellenar otra fila más.
Seguro que ya estás acostumbrado a mirar la agenda de la asignatura. Te presento una nueva hoja de cálculo: Notas de los alumnos. En este documento podrás ver las diferentes notas de la asignatura que irás obteniendo a lo largo del curso. Hay notas de dos tipos: notas de exámenes y notas de clase. La nota de clase evaluará si has realizado las tareas de cada tema, si tienes el cuaderno ordenado, si te comportas correctamente en clase y si eres puntual. Si te faltan tareas obligatorias por hacer no obtendrás más de un 4 en la nota de clase. Para poder ver este importante documento, debes estar autorizado. Comprueba que el profesor te ha mandado un correo electrónico invitándote a acceder a él.
La nota de cada evaluación la obtendrás a partir de las notas de los exámenes y de las notas de clase. Las notas de clase serán un 40% del total y los exámenes un 60%. En cada evaluación los contenidos de un examen vuelven a entrar en el siguiente, por lo que los últimos exámenes cuentan más que los primeros. Así podrás recuperar si no has obtenido buenas notas en los primeros exámenes.
Después de cada examen recibirás ejercicios obligatorios de recuperación en tu email.
Después del primer examen, seguimos con más contenidos del bloque "Números" del currículo de 1º de la ESO. En esta ocasión vamos a repasar las potencias de números naturales. En primer lugar recordemos que una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo. Mira esta bonita animación. A continuación volvemos a usar Descartes:
Las tareas obligatorias que tienes que realizar son las siguientes:
Primera página. Aquí repasamos la definición de potencia. Copia en tu cuaderno el concepto de potencia y sus partes (base y exponente). A continuación usa la escena para responder las cuatro preguntas que se encuentran a la derecha de ella. En tu cuaderno escribe las cuatro preguntas, las respuestas y varios ejemplos de potencias que cumplan lo que indica cada pregunta.
Segunda página. Aquí estudiamos la primera propiedad de las potencias: el producto de potencias con la misma base. Usa la escena para comprender esta propiedad. Luego en tucuaderno copia el enunciado de la propiedad y cuatro ejemplos donde se aplique.
Tercera página. Ahora estudiamos la segunda propiedad de las potencias: el cociente de potencias con la misma base. Usa la escena para comprender esta propiedad. Luego en tucuaderno copia el enunciado de la propiedad y cuatro ejemplos donde se aplique. En la misma página, averigua y copia cuánto vale una potencia de exponente 0.
Cuarta página. Ahora estudiamos la tercera propiedad de las potencias: la potencia de una potencia, es decir, una potencia cuya base es otra potencia. Usa la escena para comprender esta propiedad. Luego en tucuaderno copia el enunciado de la propiedad y cuatro ejemplos donde se aplique.
Comprueba lo que sabes. Practica con las tres escenas de esta página para comprobar que has aprendido los conceptos y propiedades de las potencias.
Hasta aquí las tareas obligatorias de potencias. Enséñaselas a tu profesor para que las dé por realizadas.
Como primera tarea opcional, estudia esta otra propiedad que relaciona la potencia con el producto. Usa la escena para comprender esta propiedad. Luego en tucuaderno copia el enunciado de la propiedad y cuatro ejemplos donde se aplique.
Como segunda tarea opcional, elige dos de los juegos de cálculo con potencias que encontrarás en esta página y copia su solución en tu cuaderno.
Como tarea opcional y que te puede servir para preparar el examen, realiza el siguiente ejemplo de examen. Haz los ejercicios en el cuaderno y enséñamelos. ¡No olvides poner título a todo lo que hagas en el cuaderno!
Otra tarea opcional: mándame un email contándome qué has aprendido hasta ahora en clase de matemáticas, qué te ha gustado y qué se te ocurre que podemos hacer para aprender más.
¡Todavía más! ¿Te gustaría escribir más rápido con el teclado? Puedes practicar con este curso gratuito de mecanografía.
En la siguiente página puedes recordar los términos de la división. Copia en tu cuaderno la definición de cada uno de los términos, la relación que tienen entre ellos (prueba de la división) y dos ejemplos de divisiones indicando el nombre de sus términos. Para los ejemplos puedes ayudarte de la escena que hay en esta página.
Pasa a esta nueva página. Aquí debes copiar en tu cuaderno la definición de división exacta y la definición de división entera con dos ejemplos de cada una.
Practica divisiones exactas sencillas en estas dos páginas: aquí y aquí. Haz las divisiones en tu cuaderno si lo necesitas.
Por último vas a hacer divisiones en el cuaderno. ¿Necesitas ayuda? Aquí puedes repasar cómo se divide por una cifra y aquí, por dos cifras. Realiza las siguientes divisiones en tu cuaderno. Haz también la prueba de la división para comprobar los resultados de cada una de las divisiones:
3 204 : 6
5 840 : 7
6 088 : 9
2 975 : 15
8 241 : 26
15 408 : 36
37 220 : 52
82 043 : 354
Cuando hayas terminado estas tareas, enséñaselas a tu profesor para que dé por realizada la tarea.
Como tarea opcional, te propongo el juego que hay en esta página. Practica con él divisiones exactas sencillas, ya que realizaremos una competición en clase. Quien gane habrá conseguido esta tarea opcional.
![[060313] Unidentified bacterium dry wax contact-mode (011) xy 2.3um z 194nm](http://img.wylio.com/flickr/390/214902424 "[060313] Unidentified bacterium dry wax contact-mode (011) xy 2.3um z 194nm - photo by: Toby Kurk, Source: Flickr, found with Wylio.com")
